一战封神的 0x5f375a86

雷神之锤3是一款九十年代非常经典的游戏，内容画面都相当不错，作者是大名鼎鼎的约翰卡马克。由于当时游戏背景原因，如果想要高效运行游戏优化必须做的非常好，否则普通人的配置性能根本不够用，在这个背景下就诞生了“快速开平方取倒数的算法”。
! K% C1 v9 b9 w* Z4 u6 U, w
在早前自雷神之锤3的源码公开后，卡马克大神的代码“一战封神”，令人“匪夷所思”的0x5f375a86 ，引领了一代传奇，源码如下：

1. 
   
2. float Q_rsqrt( float number ) {
   0 I8 A6 y, y* l# A* [% S. S
3.     long i;
   
4.     float x2, y;
   6 u1 A0 B+ _; w3 h6 [# N: C5 n
5.     const float threehalfs = 1.5F;
   
6.   x2 = number * 0.5F;
   
7.     y   = number;
   
8.     i   = * ( long * ) &y;
   : @2 @5 U4 @( K; J- d  P  C
9.   // evil floating point bit level hacking
   * s$ r! x8 L9 ?
10.     i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    
11.     y   = * ( float * ) &i;
    " O/ g1 o4 A  P) s3 E
12.     y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
    4 ?1 b" s% O' Y
13. // 1st iteration
    0 W3 ^# j/ d: ~, n0 b" e3 T. o
14.     // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
    
15. // 2nd iteration, this can be removed
    
16.   #ifndef Q3_VM
    1 c3 |( j$ T. a  }. c+ A9 z
17.     #ifdef __linux__
    ' R9 M4 ]+ ]( C' U& t* X! J& A
18.       assert( !isnan(y) );
    2 S2 H& @6 O0 P, ]+ m* _
19. // bk010122 - FPE?
    1 D  C! ^6 C7 ]
20.     #endif   
    
21. #endif   
    ; y8 s& |$ H( z
22. return y; }

复制代码

% ~; i& s% C' g0 Z( c

相比 sqrt() 函数，这套算法要快将近4倍，要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！

牛顿迭代法的原理是先猜测一个值，然后从这个值开始进行叠代。因此，猜测的值越准，叠代的次数越少。卡马克选了0x5f3759df这个值作为猜测的结果，再加上后面的移位算法，得到的y非常接近1/sqrt(n)。这样，我们只需要2次牛顿迭代法就可以达到我们所需要的精度。

函数返回1/sqrt(x),这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。

, M$ [! v; h: [( X( s1 n/ x2 a! A

注意到这个正数只用了一次叠代!(其实就是根本没用叠代，直接运算)。编译、实验，这个团数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt()函数快4倍！
* o) T$ Z# \, a2 m
这个简洁的定数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了what the fuck的一句 i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 )；再加上y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) )。

) }5 ]5 H0 B  h: S4 y9 x

两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。

算法的原理就是使用牛顿迭代法,用 x-f(x)/f'(x) 来不断的逼近 f(x)=a 的根。

  w/ X0 a* i" j' A4 E2 P: d4 x

求平方根：f(x)=x^2=a ,f'(x)= 2*x, f(x)/f'(x)=x/2,把 f(x) 代入 x-f(x)/f'(x)后有(x+a/x)/2，

现在我们选 a=5,选一个猜测值比如 2，  那么我们可以这么算  5/2 = 2.5; (2.5+2)/2 = 2.25; 5/2.25 = ……  这样反复迭代下去，结果必定收敛于 sqrt(5)。

+ I& [, P9 g. B

但是卡马克作者真正厉害的地方是他选择了一个神秘的常数 0x5f375a86来计算那个梦“值，

就是我们加注释的那一行那行算出的值非常接近1/sqrt(n)这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。
( F2 m0 K* w2 S& e5 |* v% i
+ L1 k$ U1 `* P& B! u7 b当然目前也已有翻译过C++语言的版本：
- Q# i2 f& A) H

1. 
   5 J. U. \: Z1 o$ J3 \; }5 N
2. float Q_rsqrt( float number )
   ) M, p2 ]9 d3 s1 q  p
3. {
   0 y! d$ y' C+ C& P
4.     long i;
   
5.     float x2, y;
   
6.     const float threehalfs = 1.5F;
   3 e# y3 L7 D) l) ?# e' d# O
7. 
   
8.     x2 = number * 0.5F;
   % ]1 |7 y) _7 |/ T/ H
9.     y  = number;
   
10.     i  = * ( long * ) &y;
    
11.     i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    
12.     y  = * ( float * ) &i;
    
13.     y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
    
14.     // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
    # @" v7 x% E0 F( B- N6 n! p
15. 
    
16.     #ifndef Q3_VM
    
17.     #ifdef __linux__
    
18.         assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
    
19.     #endif
    7 w9 q7 u% f/ m& e2 d+ f% L' ?% B! E& }
20.     #endif
    
21.     return y;
    
22. }

复制代码

3 K& p: U( H0 D$ g( ^6 U. N

当然，更加魔幻的是，普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，但也不服气，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。

在精心研究之后，Lomont从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了...

Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。

( ^" R4 |5 N& l$ |, A. ?  K

囊括世界万物的一段代码

这是一段使用Processing语言的代码，这短短的几行代码永无休止的就在做一件事——“穷举”。那么它又有什么特殊之处吗？

忽略机器本身的性能限制，假设 frameCount 可以无限大（frameCount代表当前帧数）。只需安安静静地盯着屏幕，就可以看到所有像素的所有组合可能。

这意味着你可以在上面看到所有艺术大师的作品，蒙娜丽莎、向日葵甚至是初音……人类历史上所有光辉的瞬间都将闪现在眼前。

但是这又需要多久时间呢？计算机里的每个像素都是由 256 级的 RGB 组成的。因此可以表示 256 ³ （1600万）种颜色。假如图形的分辨率为 1000 × 1000，所有的像素可能的色值相互组合，将会产生 256 的 3000000 次方张不同图片。

如果将图片排在一个长廊上，人以一秒一张的速度去浏览。由于一年有 31536000 秒，因此要走完这条长廊，就需要 10⁷²²⁴⁷¹² 年。

这个数字已经大得很难用人类的常用单位去表示了。硬是要用，那就是 10亿亿亿亿亿亿......年（90万个亿）。要清楚，宇宙的年龄也仅仅是 140 亿年（1.4 × 10¹⁰年）。。

这也意味着，即使你从宇宙大爆炸看到现在，也无法将这个程序看完。但如果把图片像素的精度降低呢？用 100 × 100 的分辨率并且只用黑白二值去表示图形？此时总数就会缩减到 2⁷⁰⁰⁰⁰ ，也就约等于 10³⁰¹⁰。

看似缩小很多了。如果同时动用全人类的力量，将这个任务分配给70亿人。每人还是要不眠不休地看上 3.17 × 10³⁰⁰² 年，才能看完。

* u, p; T6 c0 g% |" u5 u* o% p8 @

即使化到最简，结果仍是大得恐怖。但如果能看完，我手上说不准会有一张 100 × 100 的HelloKitty头像，他手上或许能有一张爱因斯坦吐舌头的照片。

可以用这么简洁的形式去展现万物，用近乎无限的时间去换取无限的可能，我觉得这就是这段代码的魅力所在。

1. 
   
2. void setup(){
   9 v/ k8 G, r( u4 I2 e5 o
3. size(500,500);
   + ~; Q9 H* `: O) f. b  I% R0 @
4. }
   ; m1 S* s' C0 B" T
5. void draw(){
   7 F5 R/ x4 V( M- y2 b
6. for(int i=0;i<width;i++){
   8 N9 Q& x* r. Z; N( u& C/ ^7 c! C
7.    for(int j=0;j<height;j++){
   2 _6 A8 ]7 P! t6 n
8. stroke(frameCount/pow(255,i+j*width)%255,frameCount/pow(255,i+j*width+1)%255,frameCount/pow(255,i+j*width+2)%255);
   " j/ N1 @+ X8 w! V# |( G: J6 z. n
9.      point(i,j);
   
10.    }
    ; i$ T4 q: I9 d9 C9 c' p* a
11. }
    . n6 e4 o& }8 L1 U
12. }

复制代码

5 H; n9 v( r6 }& J

这段代码也有5x5的精简加速版本，当然其中的参数也是可以任意修改的，代码如下：

1. 
   
2. int num,w,frame,level;
   
3. 
   , \( J3 b0 k) P6 P3 z
4. void setup(){
   
5. size(400, 400);
     E5 E# P0 ?0 p7 S6 l4 b/ v  h5 `
6. num = 5;
   
7. w = width/num;
   
8. level = 2;     //色值精度
   
9. }
   
10. 
    1 j/ z6 @" u1 |4 _. L
11. void draw(){
    
12. for(int i = 0; i < num; i++){
    % s$ k7 p' i- K, k
13.    for(int j = 0; j < num; j++){
    ! i. u3 [9 f9 @6 o* x% j6 h: w* |
14.      fill((int(frame/pow(level,i + j * num)) % level)* (255 / (level - 1)));
    # O' O- n4 y" B) x
15.      rect(w * i, w * j, w, w);
    * w' q+ I5 S2 u& D1 D
16.    }
    
17. }
    
18. // frame++;                       匀速播放  
    
19. frame = int(pow(frameCount,2));   //加速播放
    7 K9 A/ n/ g5 R  ^; E
20. }

复制代码

) c" @, R5 v9 X: m* T

只有13个字符的Linux Fork炸弹
8 W+ B+ [2 A' i3 [& y4 S: G: m4 K

早在2002年，Jaromil设计了最为精简的一个Linux Fork炸弹，整个代码只有13个字符，在 shell 中运行后几秒后系统就会宕机：
: u* I2 E" a0 n; a, [5 c( S. F

1. :(){:|:&};:

复制代码

这样看起来不是很好理解，我们可以更改下格式：

1. 
   3 h6 X! D" t) L+ S9 P9 \
2. :()
   
3. {
   8 U& q# s, |1 \: c
4. :|:&
   2 A# s2 A! O8 ?. K9 K, v
5. };
   ( G7 [1 d2 f% [! |. S' |8 `
6. :

复制代码

1 c* @5 \" z8 @$ ^  `更好理解一点的话就是这样:

1. 
   
2. bomb()
   $ n* ~: [+ O( \& S7 b
3. {
   
4. bomb|bomb&
   
5. };
   ( x7 u; l; v; \/ }( x1 J6 b
6. bomb
   

复制代码

$ E4 W" ~" d+ R  m9 `* `2 |因为shell中函数可以省略function关键字，所以上面的十三个字符是功能是定义一个函数与调用这个函数，函数的名称为:，主要的核心代码是:|:&，可以看出这是一个函数本身的递归调用，通过&实现在后台开启新进程运行，通过管道实现进程呈几何形式增长，最后再通过:来调用函数引爆炸弹。因此，几秒钟系统就会因为处理不过来太多的进程而死机，解决的唯一办法就是重启。

当然有“不怕死”的小伙伴用了云主机试了一试：

结果，运行一段时间后直接报出了-bash: fork: Cannot allocate memory，说明内存不足了。

并且在二号终端上尝试连接也没有任何反应。因为是虚拟的云主机，所以我只能通过主机服务商的后台来给主机断电重启。然后才能重新登录：
* e* G5 M, V2 ~4 R/ P; t

. K. @4 k) ?" c: c. d2 S7 }9 F/ N) n

当然，Fork炸弹用其它语言也可以分分钟写出来一个，例如，python版：

1. 
   * f3 M) q) H% u6 a' o
2. import os
   
3. 
   
4. while True:   os.fork()

复制代码

Fork炸弹的本质无非就是靠创建进程来抢占系统资源，在Linux中，我们可以通过ulimit命令来限制用户的某些行为，运行ulimit -a可以查看我们能做哪些限制：
, u$ b3 b& d: j6 Y( a

1. 
   + D' t  t. g( |$ ]/ l1 @  m6 n1 ]
2. ubuntu@10-10-57-151:~$ ulimit -a
   1 b4 V0 j3 u4 g
3. core file size          (blocks, -c) 0
   . w9 G" F- B- D. S6 E
4. data seg size           (kbytes, -d) unlimited
   
5. scheduling priority             (-e) 0
   
6. file size               (blocks, -f) unlimited
   9 l0 S" ~! k1 s) \! p& X) ?! t5 y
7. pending signals                 (-i) 7782
   3 K- J: l& O. U. f% M" ]( a
8. max locked memory       (kbytes, -l) 64
   & O' O$ I" Y5 Y# \9 ]; u
9. max memory size         (kbytes, -m) unlimited
   ! u% @1 i! K6 m; O0 U+ C
10. open files                      (-n) 1024
    / k8 c( f8 v& S; Q
11. pipe size            (512 bytes, -p) 8
    
12. POSIX message queues     (bytes, -q) 819200
    . `- Q6 H: t1 A" s
13. real-time priority              (-r) 0
      U' D- n) }) L1 d7 S& v
14. stack size              (kbytes, -s) 8192
    ! E( ?2 t4 C0 b, l# T0 C& G+ T
15. cpu time               (seconds, -t) unlimited
    
16. max user processes              (-u) 7782
    . Q' Q+ v' x. P0 ?
17. virtual memory          (kbytes, -v) unlimited
    3 E: N' p3 `; G8 z7 ]8 i% G( V$ {
18. file locks                      (-x) unlimited

复制代码

" w1 l" l. [9 @- m2 d

可以看到，-u参数可以限制用户创建进程数，因此，我们可以使用ulimit -u 20来允许用户最多创建20个进程。这样就可以预防bomb炸弹。但这样是不彻底的，关闭终端后这个命令就失效了。我们可以通过修改/etc/security/limits.conf文件来进行更深层次的预防，在文件里添加如下一行（ubuntu需更换为你的用户名）：

0 W( }0 q4 X( p, n9 z

• ubuntu - nproc 20
  8 h( x/ B5 |7 \. a; T3 b$ i9 Z8 ^

这样，退出后重新登录，就会发现最大进程数已经更改为20了，这个时候我们再次运行炸弹就不会报内存不足了，而是提示-bash: fork: retry: No child processes，说明Linux限制了炸弹创建进程。

东尼·霍尔的快速排序算法

这个算法是由图灵奖得主东尼·霍尔(C. A. R. Hoare)在1960年提出的，从名字中就可以看出，快速就是他的特点。

快速排序采用了“分治法”策略，把一个序列划分为两个子序列。在待排序列中，选择一个元素作为“基准”（Pivot）。

; @4 N4 `$ }/ W5 B9 H

所有小于“基准”的元素，都移动到“基准”前面，所有大于“基准”的元素，都移动到“基准”后面（相同的数可以到任一边）。此为“分区”（partition）操作。

分别对“基准”两边的序列，不断重复一、二步，直至所有子集只剩下一个元素。

假设现有一数列：

$ \$ s: @2 s! r4 J9 @( M

' e2 _# r* w  W; w  A+ {3 F对此数列进行快速排序。选择第一个元素 45 作为第一趟排序的“基准”（基准值可以任意选择）。
& Q, v+ t. `% c- G" D% V# D

第一趟：将元素 45 拿出来，分别从数列的两端开始探测
; Y! A8 R* \- R1 L0 [" |; U
首先从右向左开始，找到第一个小于 45 的元素为 25，然后将 25 放置到第一个元素 45 的位置上。此时数列变为：
6 ?$ i* W* N1 ^  @

' y/ U0 d0 ]3 `: T: l0 P8 I# X# p6 y

然后从左向右开始，找到第一个大于 45 的元素为 66 ，然后将 66 放置到原先元素 25的位置上。此时数列变为：
# B* }, `& X8 |1 @* N* L; O

. m4 ~; {- l3 z

继续从右向左开始，找到第二个小于 45 的元素为 10 ，然后将 10 放置到原先元素 66的位置上，此时数列变为：

% p' p2 w5 v+ Q" q+ p继续从左向右开始，找到第二个大于 45 的元素为 90 ，然后将 90 放置到原先元素 10的位置上，此时数列变为：
5 Z- G4 O' Y2 H5 V' I1 Y
5 z# C/ x5 }9 E. A  d; _5 [

) @: I( N- T  h) H0 {3 X. ]; G

继续从右向左开始，此时发现左右碰面，因此将“基准”45 放置到原先元素 90 的位置上，此时数列变为：

' t9 @4 g# c- G至此，第一轮结束，“基准”45 左侧为小数区，右侧为大数区。同样的分别对小数区和大数区应用此方法直至完成排序。

分析完成后通过C++的源代码如下：
/ ~7 y5 c6 r7 @$ w( g

3 b9 g2 z8 n0 U9 v! Z+ G

快速排序核心算法：

1. 
   
2. //每一轮的快速排序
   + a2 m( o% k, o% b& ]  p) L# R
3. int QuickPartition (int a[],int low,int high)
   
4. {
   
5.     int temp = a[low];//选择数组a的第一个元素作为“基准”
   
6.     while(low < high)
   
7.     {
   3 s9 u, a$ ~( Y4 h) \# c+ ~
8.         while(low < high && a[high] >= temp )//从右向左查找第一个小于“基准”的数
   9 Y8 ^6 b7 w. V7 D& M& E8 j5 V
9.         {
   - {% P+ A0 d- l! a. g- i' b8 g
10.             high--;
    
11.         }
    
12.         if (low < high)
    
13.         {
    9 P! L4 U1 H# J* O" J
14.             a[low] = a[high];//将第一个找到的大于“基准”的数移动到low处
    ( ?: r9 G& w% S" j/ H; B$ z% I
15.             low++;
    ; B- Q7 v- G3 o
16.         }
    
17. 
    0 A; a4 b1 I/ @) ?, H
18.         while(low < high && a[low] <= temp)//从左向右查找第一个大于“基准”的数
    
19.         {
    + z. z- L; K6 e6 d" x2 O9 Y+ r
20.             low++;
    
21.         }
    # M" W4 w8 C6 T9 V! l
22.         if(low < high)
    
23.         {
    $ R) l2 O8 J8 n. n5 `, ~) K$ F
24.             a[high] = a[low];//将第一个找到的小于“基准”的数移动到high处
    ' z/ ?2 {: O& ?
25.             high--;
    ( }/ Y+ E( L% m+ O+ m2 b9 |/ w
26.         }
    
27. 
    
28.         a[low] = temp;//将“基准”填到最终位置
    ) [2 ^2 Z% Z# _0 y- t1 Y5 E3 k# \
29.     }
    " j* U- W6 `( K
30.     return low;//返回“基准”的位置，用于下一轮排序。
    
31. }

复制代码

* q, U" f3 t6 ^

递归调用QuickSort（分治法）：
9 J" }' O7 O( X* T1 ~& q

1. 
   
2. //快速排序-递归算法
   
3. void QuickSort (int a[],int low,int high)
   
4. {
   " x  c0 \1 `5 A7 K9 I- G
5.     if(low < high)
   + n2 T  C& N# B; ~$ f1 e
6.     {
   
7.         int temp = QuickPartition(a,low,high);//找出每一趟排序选择的“基准”位置
   
8.         QuickSort(a,low,temp-1);//递归调用QuickSort，对“基准”左侧数列排序
   0 r  V* j# F. |- [$ W4 i5 m
9.         QuickSort(a,temp+1,high);//对“基准”右侧数列排序
   
10.     }
    
11. }

复制代码

8 C* s1 V5 Q* h9 s8 H主函数调用：

1. 
   
2. void main()
   
3. {
   9 s! G/ m* _# ~  V/ i) m
4.     int a[8]={45,38,66,90,88,10,25,45};//初始化数组a
   
5.     QuickSort(a,0,7);
   
6. 
   - w) w- l; ], L5 E$ B0 t- r0 m
7.     cout<<endl<<"排序后：";
   
8.     for(int i = 0;i <= 7;i++)
   " k- i$ `+ O- t0 R) K
9.     {
   
10.         cout<<a[i]<<" ";
    
11.     }
    4 n2 r8 U( f# p+ e  [5 Z0 Z" }
12.     getchar();
    
13. }

复制代码

/ c5 x( C* K2 u1 v
排序后结果：
5 l9 ?7 b8 @3 e4 p3 x6 S0 V" Y

+ t4 `  C' Q# }0 K4 W0 s. i

毫无炫技又惊为天人的二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
% l  z5 w* s( ~* w. F- p( f二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集U和V，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
4 v8 O4 e. w+ N" U0 R+ {匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
% ?9 Y2 c! w( L+ A4 X' j6 P最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
4 w+ g3 s" \; k完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。
8 |) u8 q# I# _* @$ n: v
0 L0 q4 b' @3 `# w0 B0 Z
7 U* \3 s7 W3 _, G0 ]: V+ m基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。

, |$ W# @7 C2 B
* m$ z- y1 k0 u4 ?" X: R9 {交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
3 C1 T7 i# k0 t/ d$ j增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
; v6 u6 u8 _7 ?1 G我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。
- L) W6 ^+ m' i6 v& V5 }3 ?9 h匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：
) m" x/ m4 t' Z' \

   
& P# R. ~5 I" n4 Y这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
; p/ z9 v) ^& R: s" E& r/ n下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码：

1. 
   
2. // 顶点、边的编号均从 0 开始
   8 H& Q- q9 m! c% i5 L9 G' O
3. // 邻接表储存
   
4. 
   
5. struct Edge
   
6. {
   
7.     int from;
   
8.     int to;
   , M; M& e# X2 l1 X8 I  o
9.     int weight;
   - i+ T! E4 W" z; I1 s9 h; E( Y# K" x2 X
10. 
    
11.     Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
    
12. };
    3 k7 {; R5 C0 W
13. 
    : r, T0 k9 a' Y' D" R  ?/ f0 C
14. vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
    ; a; a4 s8 _, N$ Q" h
15. vector<Edge> edges;
    & u4 j- a6 U3 [( T; z/ P; b  W4 ?
16. typedef vector<int>::iterator iterator_t;
    ! H5 {& P- [% C: y; Q, v/ V3 V: T
17. int num_nodes;
    
18. int num_left;
    - X8 Q& B+ X$ p
19. int num_right;
    $ X  @' N* g9 E. T! }9 q$ w
20. int num_edges;
    2 W* M2 F) ]+ R8 W! i

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1. 
   : K. ?3 E. K+ v- I# N
2. int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
   
3. int check[__maxNodes];
     p: a- q$ Y" W, G
4. bool dfs(int u)
   ' D$ ^/ V$ K$ N0 U3 e
5. {
   
6.     for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点
   
7.         int v = edges[*i].to;
   - S2 Z4 }, p3 ?, Q* T5 g* I9 V
8.         if (!check[v]) {     // 要求不在交替路中
   
9.             check[v] = true; // 放入交替路
   9 y6 M' S6 {; M9 E3 }
10.             if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
    * h1 _- h& ^* v5 A0 j  g# u# q6 \
11.                 // 如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功
    ' G& f5 }/ \* F" ~  n7 l' C
12.                 matching[v] = u;
    
13.                 matching[u] = v;
    & o3 r! J* p+ C) U- r0 a
14.                 return true;
    7 V9 f0 B3 w# S) r* y$ L/ m
15.             }
    3 h+ f2 o  a% y: u
16.         }
    
17.     }
    
18.     return false; // 不存在增广路，返回失败
    & E/ y  S1 `2 y; T: i' F# a0 F
19. }
    
20. int hungarian()
    % z& D& ?5 }/ i: E
21. {
    & P0 p& z# o; y0 ^0 q6 O2 v
22.     int ans = 0;
    
23.     memset(matching, -1, sizeof(matching));
    # P# x1 c! H2 d1 e" `
24.     for (int u=0; u < num_left; ++u) {
    
25.         if (matching[u] == -1) {
    8 K; Q! ~* L/ O* }) `9 @4 N  I' K) E
26.             memset(check, 0, sizeof(check));
    
27.             if (dfs(u))
    
28.                 ++ans;
    
29.         }
    
30.     }
    1 r1 y3 w) m! I; V
31.     return ans;
    3 h0 J" F# k$ X2 g
32. }<u></u>
    ; i( d/ Z) |" p& j! i

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1. 
   
2. queue<int> Q;
   $ e4 `2 \! J& m2 [8 Z
3. int prev[__maxNodes];
   
4. int Hungarian()
   : z2 o4 a: f; k
5. {
   " w) P# H9 G6 j: d
6.     int ans = 0;
   0 r$ S0 v# t+ t9 M2 l6 \
7.     memset(matching, -1, sizeof(matching));
   
8.     memset(check, -1, sizeof(check));
   
9.     for (int i=0; i<num_left; ++i) {
   0 g7 o# \+ h4 s2 B+ W
10.         if (matching[i] == -1) {
    
11.             while (!Q.empty()) Q.pop();
    
12.             Q.push(i);
    
13.             prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点
    * z* h: P& @$ O  Q1 E6 _
14.             bool flag = false; // 尚未找到增广路
    3 m+ D* S, M; K" m5 e
15.             while (!Q.empty() && !flag) {
    
16.                 int u = Q.front();
    
17.                 for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
    
18.                     int v = edges[*ix].to;
    " }8 F3 k9 N% ?: e. t) Z$ E8 I
19.                     if (check[v] != i) {
    
20.                         check[v] = i;
    # X3 l' V" g% Y4 U8 q  @$ S0 B
21.                         Q.push(matching[v]);
    
22.                         if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点
    1 U, n# b, T3 h2 p! G
23.                             prev[matching[v]] = u;
    . A3 I6 z/ S0 ~; f0 P. O) Y
24.                         } else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路
    2 v8 q2 y4 {9 t/ h8 u( \% `  n; Q7 s3 T
25.                             flag = true;
    
26.                             int d=u, e=v;
    5 @7 ^( H$ H9 F6 x# [+ O
27.                             while (d != -1) {
    9 w" F2 Z5 r+ Z- g
28.                                 int t = matching[d];
    
29.                                 matching[d] = e;
    7 O& r. ~1 S: ]6 S, e
30.                                 matching[e] = d;
    # z! e! k6 L# k; Z
31.                                 d = prev[d];
    0 m" h/ b; @- y$ N' v
32.                                 e = t;
    
33.                             }
    / Y' N: I" @1 l6 M$ @7 l
34.                         }
    
35.                     }
    2 a  U8 [7 \7 ?9 ~6 ]/ t
36.                 }
      O, X+ T1 D1 T) D  ~
37.                 Q.pop();
    5 ?) B% e  T& M6 N4 ]  N, j
38.             }
    , W; T5 S$ M( H+ u& f0 p
39.             if (matching[i] != -1) ++ans;
    
40.         }
    ; d/ \5 M& h0 Z  T1 m: {
41.     }
    
42.     return ans;
    
43. }

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8 b! p% \- p* B7 y" Z& c9 k. H
匈牙利算法的要点如下

; A) A2 l# H2 Y# T

• 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
  ( _) J4 u- V# s
  • 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
  • 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
    
• 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。
  

% l5 K  r8 i; e0 y性能比较
4 p# i) ], n4 ~( s+ A) p3 P  g, c两个版本的时间复杂度均为O（V·E）。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。我测试了两种算法的性能。对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。补充定义和定理：
最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。
! o4 W' k+ p; K  U定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）定理2：最大匹配数 = 最大独立数定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

funny， Amazing， Beautiful，

没想到开方函数还有这么段有趣的历史，受教了。